Задача про яблоко, которое падает на голову (на весну 2025/26 тема занята)
Задание 1¶
Человек под яблоней, в случайном месте висит яблоко. И оно падает. Найти вероятность, что яблоко попадает человеку по голове (и он, возможно, совершит какое-нибудь открытие).
Баллы¶
- Голова квадратная со стороной \$r\$, яблоко тоже квадратное со стороной \$R\$, и яблоня тоже квадратная со стороной \$Q\$; человек стоит с самого края, по контуру кроны, или человек стоит в середине (стволом можно пренебречь): 2 курс – 5 баллов, 1 курс – 10 баллов.
- То же самое, но все круглое и даны радиусы: 2 курс – 8 баллов, 1 курс – 16 баллов (“квадратные” и “круглые” баллы не суммируются).
Подготовка¶
Для решения задачи достаточно знать понятие геометрической вероятности. Если что-то равномерно распределено в некоторой области, то вероятность попасть во всю область равна 1, а вероятность попасть в подобласть пропорциональна площади подобласти. «Случайное место» означает, что центр квадрата/круга равномерно распределен в указанной области.
Задание 2¶
Написать программу, которая проверяет полученный ответ с помощью моделирования.
Баллы¶
2 курс – 5 баллов, 1 курс – 10 баллов.
Подготовка¶
Оценивать вероятность можно следующим образом. В программе случайным образом разыгрывается точка, где стоит человек, и точка, куда падает яблоко. Это делается много раз. Доля случаев пересечения соответствующих квадратов/кругов – это и есть оценка требуемой вероятности. Чтобы убедиться, что ответ правильный, теоретически сосчитанное значение должно быть достаточно близко к оценке с помощью программы. «Достаточно близко» означает, что правильная вероятность попадает в доверительный интервал с заданной вероятностью.
Задание 3¶
Представим себе, что падает ветка, которая является случайной хордой кроны яблони. Какова вероятность, что ветка упадет на голову? Можно подправить условие (где стоит человек, какая у него форма головы и пр.), чтобы решать было попроще. Для этой задачи с падением ветки нужно сделать то, что написано в заданиях 1 и 2. Учтите, что понятие случайное хорды не формализовано, поэтому сначала требуется задать, что такое случайная ветка, а это можно сделать тремя способами (требуется решить задачу для всех трех способов).
Баллы¶
2 курс – 12 баллов, 1 курс – 24 баллов.
Подготовка¶
Постановка задачи в данном случае - это парадокс Бертрана, суть которого в том, что нужно сначала поставить задачу, а потом уже ее решать.
Информация¶
Как считать доверительный интервал - https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval
Руководитель¶
Нина Эдуардовна Голяндина