Бросание шарика на доску Гальтона

Задание 1

Есть доска Гальтона высоты \$N\$. В \$i\$-м ряду доски, \$1 \le i \le N\$, вбиты \$i\$ гвоздиков. \$(i, j)\$-й гвоздик в этом ряду, \$1 \le j \le i\$, с вероятностью \$p_{i,j}\$ перебрасывает шарик на \$(i+1, j+1)\$-й гвоздик, с вероятностью \$(1-p_{i, j})\$ – на \$(i+1, j)\$ гвоздик. Под \$(N+1)\$-м рядом гвоздиков подразумевается одна из \$N+1\$ корзин, в которую шарик падает окончательно. Изначально шарик падает на гвоздик \$(1, 1)\$. Вопрос: при каких вероятностях \$p_{i,j}\$ в корзинах получится равномерное распределение (т.е. вероятность попадания шарика в каждую из \$N+1\$ корзин равна \$\frac{1}{N+1}\$)? Решение нужно обосновать.

Баллы

\$N\$ = 2 и 3: 2 курс – 5 баллов, 1 курс – 10 баллов.
Любое \$N\$, \$p_{i,j}\$ могут зависеть от \$N\$: 2 курс – 10 баллов, 1 курс – 20 баллов.
Любое \$N\$, \$p_{i, j}\$ не зависят от \$N\$: 2 курс – 20 баллов, 1 курс – 40 баллов.

Подготовка

Нужно ознакомиться с элементарной теорией вероятностей (например, Ширяев А.Н., Вероятность-1, третье издание, Москва, МЦНМО, 2004, гл. 1, пар. 1-2). Заметим, что если все \$p_{i, j}\$ равны одному и тому же \$p\$, то распределение (номера корзины – 1), в которую попадает шарик – это биномиальное распределение с \$N+1\$ исходами и вероятностью \$p\$.

Tip

При большом $N$ биномиальное распределение похоже на нормальное. Поэтому эксперимент с бросанием шариков используют для демонстрации того, как можно получить примерно нормальное распределение.

Руководитель

Никита Звонарев